电力系统保护与控制 第 50 卷 第 1 期 2022 年 1 月 1 日 Power System Protection and Control Vol.50 No.1 Jan. 1, 2022 DOI: 10.19783/j.cnki.pspc.210309 基于希尔伯特变换的暂态信号正弦表示分析方法 罗 建，石家炜 (输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室(重庆大学)，重庆 400044) 摘要：为了分析电力系统暂态信号特性和计算暂态信号导数，依据采样信号拟合暂态信号函数表达式是一种可行 方法，但现有的暂态信号拟合方法还存在拟合函数确定性和可导性方面的不足。针对这一问题，提出了一种基于 希尔伯特变换的电力系统暂态信号正弦表示分析方法，采用暂态信号的正弦表示构成拟合基函数，利用希尔伯特 变换以满足拟合函数的确定性。与现有方法相比，该方法可直接分解故障暂态信号的稳态分量和暂态分量，其暂 态分量能反映故障信号的衰减特性。该方法还可拟合暂态信号的函数表达式，进而计算暂态电压电流信号的任意 阶导数值，这一特性是许多信号处理计算的基础。通过对一组给定信号和一组现场录波信号的分析，验证了所提 方法的有效性。 关键词：电力系统；暂态分析；拟合函数；希尔伯特变换；衰减特性 Sinusoidal representation of a transient signal based on the Hilbert transform LUO Jian, SHI Jiawei (State Key Laboratory of Power Transmission Equipment & System Security and New Technology (Chongqing University), Chongqing 400044, China) Abstract: To analyze the characteristics of a power system transient signal and calculate its derivative, it is feasible to fit the function expression of the signal based on a sample, but the existing transient signal fitting methods still have shortcomings of certainty and derivability of the fitting function. Given this, a sinusoidal representation method for transient signal analysis of a power system based on a Hilbert transform is proposed. The sine function of the transient signal is used to form a fitting basis function, and the Hilbert transform is used to meet the certainty of the fitting function. Compared with the existing methods, this method can directly decompose the steady-state component and transient component of the fault transient signal, and its transient component can reflect the attenuation characteristics of the fault signal. This method can also fit the function expression of the transient signal, and then calculate the arbitrary order derivative value of the transient voltage and current signal. This is the basis of many signal processing calculations. Through the analysis of a set of given signals and a set of field recorded signals, the effectiveness of the proposed method is verified. This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 51877020). Key words: power system; transient analysis; fitting function; Hilbert transform; attenuation characteristics 0 引言 电力系统暂态信号分析的目的是获取暂态信号 的特性和建立其他功能需求的计算分析基础[1-3]。目 前，用于电力系统暂态信号分析的方法主要有快 速傅里叶变换法(FFT)[4-8]、自回归谱估算法[9-10]、 Prony 法[11-14]、小波算法[15-17]、S 变换[18-20]以及启发 式算法[21-23]等。 基金项目：国家自然科学基金项目资助(51877020) FFT 法是目前最重要的暂态分析方法之一，但 是其在分析含次谐波分量等非平稳故障信号时效果 不佳[4-8]。自回归谱估算法虽没有 FFT 法中频率分 辨率不足等问题，但自回归谱估计法存在谱线分裂、 虚假谱峰等问题[9-10]。Prony 算法采样时间短，分辨 率高，且计算结果中包含有衰减系数，符合电力系 统暂态信号的特点。但是由于 Prony 模型在数值上 是病态的，其实质上是一个高度非线性的最优化问 题，因而对干扰信号十分敏感，对幅值较小的分量计 算不准确[11-14]。小波算法通过一个可调的时间-频率 -2- 电力系统保护与控制 窗，反映了对信号的时变特性，且已在电力系统暂 态信号分析领域有很多应用成果，但其仍存在小波 基选取困难的问题[15-17]；S 变换在小波变换的基础 上采用高斯窗函数且窗宽与频率的倒数成正比，免 去了窗函数的选择，改善了窗宽固定的缺陷，但因 窗的面积固定，因而产生了局部频率分辨不准等问 题[18-20]，且小波变换与 S 变换的信号表达式较为复 杂，很难进行其他数学计算。启发式算法随着人工 智能技术的发展，已经被应用于电力系统暂态信号 分析中，但是此类算法往往模型参数较多，算法收 敛性能受参数影响较大，对样本有较强的依赖性且 可解释性较弱[21-23]。 针对现有的基于拟合函数的暂态信号分析方法 存在一些不足，还不能满足电力系统暂态分析与其 他模型配合的要求，本文提出一种基于希尔伯特变 换的暂态信号正弦表示分析方法。通过对一组给定 信号和一组现场录波信号的分析，验证了本文方法 的有效性。 1 于电力系统分析的傅里叶级数，其在暂态信号分析 上存在分辨率不足等问题。可以看出，恰当的基函 数选取往往可以降低问题的分析难度或更贴近实际 情况。 1.2 暂态信号的正弦表示方法 依据文献[24]提出的暂态信号正弦表示方法， 故障信号可表示成 f (t ) = A ⋅ cos(ωt ) + B ⋅ sin(ωt ) + A(t ) ⋅ cos(ωt ) + (2) B(t ) ⋅ B sin(ωt ) = f s (t ) + ft (t ) 式中：A、B 分别为常数，是故障稳态信号分量 f s (t ) 的系数[22]；而 A(t)、B(t)则是关于 t 的函数，对应故 障暂态信号分量 f t (t ) 。暂态信号采用幅值和相位都 随时间变化的正弦函数来表示，且暂态信号幅值将 随时间变化而衰减。 1.3 基于希尔伯特变换的暂态信号分析方法 为了体现暂态信号分量的衰减特性，同时也满 足工程的要求[9-12]，本文将 A(t)、B(t)表示为 N A(t ) = ∑ a j ⋅ t j ⋅ e − s⋅t 暂态信号正弦表示分析方法 1.1 基函数 信号复现时需选用一定的函数形式，设采样信 号对应的函数可由一组基函数来线性表示。一般地， 若一组基底 {φi ( p )}iN=1 是线性无关的，则由该基底张 成的泛函空间中的任意元素都可用该组基底的线性 组合来表示，对于待复现的信号 f (t ) 有如下表示： f (t ) = ∑ ciφi (t ) (3) j =0 在通过采集装置采样得到电力系统暂态信号 后，若能找到采样信号 y 与时间 t 之间的函数关系， 将有助于电力系统暂态信号特性的分析，还可计算 电力系统暂态信号的高阶导数，如 Prony 算法就是 一种寻找采样信号与时间之间函数关系的暂态信号 分析方法。本文研究的目的是希望用特定的函数模 型在一定的优度下去逼近采样数据，即用特定函数 模型去复现采样暂态信号，也就是寻找整体误差最 小，能较好反映采样暂态信号与时间之间的函数关 系 y = f (t ) 。 N 2 B(t ) = H [ A(t )] N j j =0 式中： {a } 是一组待定系数，N 为 A(t)中多项式 的最高阶数；s 为衰减常数；B(t)是 A(t)的希尔伯特 变换，以满足 A(t)的确定性，且可减少拟合函数的 待定系数数量；H 为希尔伯特算子，其定义为 1 +∞ f (τ ) H [ f (t ) ] = ∫ dτ (5) π −∞ t − τ 希尔伯特变换具有线性性质，正交性质和能量 守恒性质等一些特性[25-29]。希尔伯特变换的正交性 质使得体现暂态分量 ft(t)的两个暂态系数 A(t)和 B(t) 是正交的。再将式(4)与式(3)代入式(1)可得暂态信号 f t (t ) 的基底为 2 2 {t j ⋅ e − s⋅t ⋅ cos(ωt ) + H [t j ⋅ e − s⋅t ] ⋅ sin(ωt )}Nj= 0 N f (t ) = ( A+∑ a j ⋅ t j ⋅ e− s⋅t ) ⋅ cos(ωt ) + ( B +∑ a j ⋅ H [t ⋅ e (1) 基底 {φi (t )}i =1 的选择则与研究的问题有关，常 见的基底有多项式基底，傅里叶基底等。采用幂基 作为基底的