电力系统保护与控制 第 49 卷 第 17 期 2021 年 9 月 1 日 Power System Protection and Control Vol.49 No.17 Sep. 1, 2021 DOI: 10.19783/j.cnki.pspc.201406 基于 L-稳定的显式积分法的电磁暂态仿真计算方法 汪芳宗 1，朱萌瑶 1，鄢皓文 1，叶小晖 2 (1.三峡大学电气与新能源学院，湖北 宜昌 443002；2.中国电力科学研究院，北京 100192) 摘要：对电力电子化电力系统的电磁暂态仿真计算，除经常面临状态变量的突变现象以外，还存在间断现象或间 断问题。临界阻尼调整方法(Critical Damping Adjustment, CDA)可避免状态变量的突变所导致的数值振荡问题，但 CDA 方法不太适合处理间断问题。事实上，经典的 CDA 方法通常是“忽略”间断问题。为进一步优化电磁暂态 仿真计算，采用泰勒级数的 Padé逼近推导出一类显式且 L-稳定的数值方法，既可彻底避免数值振荡问题，也能 有效处理间断问题。因此，可以用此类显式方法来替换 CDA 方法中的隐式欧拉法，其中 L-稳定的显式方法专门 用于处理突变现象以及间断问题，而隐式梯形积分法主要用于处理其他的状态变量。理论分析以及初步的算例结 果表明，相对于经典的 CDA 方法，这种新的组合方法在面临频繁的间断问题时具有更高的计算效率。 关键词：电磁暂态；数值振荡；临界阻尼调整；间断问题；显式积分法；Padé逼近 Explicit integration method based on L-stable for electromagnetic transient simulation WANG Fangzong1, ZHU Mengyao1, YAN Haowen1, YE Xiaohui2 (1. College of Electrical Engineering & New Energy, China Three Gorges University, Yichang 443002, China; 2. China Electric Power Research Institute, Beijing 100192, China) Abstract: The electromagnetic transient simulation of power electronics-dominated power systems often face intermittent phenomena or problems in addition to the abrupt changes of state variables. The Critical Damping Adjustment (CDA) method can avoid the numerical oscillations caused by the abrupt changes of state variables, but the CDA method is found to be inadequate for dealing with intermittent problems. In fact, the classical CDA method usually "ignores" such problems. In order to optimize the electromagnetic transient simulation method, the Padéapproximation of Taylor series is used to derive a kind of explicit and L-stable numerical method, which can completely avoid the numerical oscillation problems and also effectively deal with the intermittent problems. Therefore, the implicit Euler method of the CDA method can be replaced by such explicit methods, where the L-stable explicit method is specifically used for abrupt changes or intermittent problems, while the implicit trapezoidal integral rule is mainly used for all other state variables. Theoretical analysis and numerical examples preliminarily verify the effectiveness of this new combined method compared to the CDA approach when facing frequent intermittent problems. This work is supported by the Science and Technology Project of the Headquarter of State Grid Corporation of China (No. XTB51201802842). Key words: electromagnetic transient; numerical oscillation; critical damping adjustment; intermittent problem; explicit integration methods; Padéapproximation 0 引言 电磁暂态仿真计算的基本理论和方法最早是由 Dommel 在 1969 年提出的[1]。经过多年的研究和开发， 目前已有多种商业化的电磁暂态程序(Electromagnetic 基金项目：国家电网公司总部科技项目资助(XTB51201802842) Transient Programs, EMTP) [2]。 早期的 EMTP 主要采用隐式梯形积分法，该方 法是 A-稳定但不是 L-稳定，没有阻尼特性。因此， 在电磁暂态仿真过程中，当微分状态变量发生突变 时，隐式梯形积分法将产生“虚拟的”数值振荡[3-5]。 为了解决这个问题，文献[6]将隐式梯形方法与具有 强阻尼特性的隐式欧拉法相结合，提出了临界阻尼 汪芳宗，等 基于 L-稳定的显式积分法的电磁暂态仿真计算方法 调整(CDA)法，此方法已应用于后期或新的 EMTP 版本中[7]。采用 CDA 方法进行电磁暂态仿真时，依 旧以 L-稳定的隐式梯形法作为计算的主要方法，仅 当状态变量发生突变(例如电感电流或电容电压发 生突变)时，将采用隐式欧拉法来进行计算。理论分 析和大量的算例表明：若能有效检测出突变现象及 其发生时刻，则 CDA 方法可以有效避免数值振荡 问题。理论上，L-稳定和非线性 B-稳定的数值方法 都具有阻尼特性或能量耗散性，因而可以有效避免 数值振荡问题。为此，文献[8]将 L-稳定的 2 阶单 对角隐式 Runge-Kutta(RK)方法应用于电磁暂态仿 真；文献[9]将 L-稳定且非线性 B-稳定的多级高阶 Radau 法应用于电磁暂态仿真计算。 尽管上述方法可以彻底避免数值振荡问题，但 这些方法均是隐式类方法。除状态变量的突变问题 外，电磁暂态仿真中还涉及到间断问题。所谓间断 问题，就是状态变量对时间的导数不是一个连续的 平滑函数，而是间断或是多值的。对于包含大量开 关的现代电力电子设备的电磁暂态仿真，间断问题 是一种普遍存在的现象。隐式积分类方法在处理间 断问题时比较“麻烦” ，这是因为：只有当积分过程 完成之后， 才能判断该时间步中是否存在间断问题； 理论上，如果在此积分步中发生间断现象，则需要 “回退”并重新积分，即采用较小的步长重新积分， 而这个较小的步长需要与间断点“吻合” 。在采用隐 式积分方法时，通常需要采用牛顿法来求解所有的 状态变量。这就意味着当出现间断现象时，必须重 新积分所有的状态变量，这自然会导致较低的计算 效率。现有的商用化 EMTP 程序，对间断问题要么 是“忽略不计” ，也就是在发现间断问题后，只是切 换状态变量对时间的导数这个函数，但并没有考虑 “回退”即重新积分；要么是采用插值方法来处理 间断问题。 与隐式方法相比，显式积分法的计算效率明显 更高。此外，显式积分法更易于处理间断问题。事 实上，插值方法的求解过程类似于显式积分。很容 易理解，可以使用 L-稳定的显式方法来专门处理有 突变或存在间断问题的状态变量，这不仅可以避免 数值振荡问题，而且在面临间断问题时可以避免对 所有状态变量进行重新积分。基于此思路，本文首 先采用 Padé逼近法构造了一类 L-稳定的显式积分 法；将该方法与隐式梯形积分法相结合形成一种新 的组合方法，其中 L-稳定的显式法专门求解存在突 变或间断问题的微分状态变量，而隐式梯形积分主 - 11 - 要用于求解所有其他的状态变量。与 CDA 方法相 比，这种新的组合方法在面临频繁的间断问题时具 有更高的计算效率。 1 基于 Padé逼近的显式积分法 1.1 泰勒级数展开的 Padé逼近 考虑以下微分方程初值问题 d (1) x x  f ( x, t ), x(t  0)  x0 dt 式中： x 为微分状态变量； f ( x, t ) 为 x 和时间 t 的 函数。为求解微分初值问题(1)，通常需要进行逐步 的数值积分。此外，也可以应用有限泰勒级数展开 来求解上述微分初值问题[10-12]，即 m 1 (k ) xn +1  xn   k h k , k xn (2) k! k 1 式中： h tn 1  tn 为积分步长； x ( k ) 为状态变量相 对于时间的 k 阶导数；h k 为一个随步长和展开变化 的变系数。 数值方法(2)易于编程和实现，但很少用于电力 系统电磁暂态仿真中，因为该方法不是 A-稳定的数 值方法，其数值稳定性较差。为了提高上述基于泰 勒展开方法的数值稳定性，可以考虑使用泰勒级数 的 Padé逼近来代替泰勒幂级数。理论上，单变量的 多项式或幂级数可以用 Padé 逼近表示为两个多项 式之商[13]。为此，令幂级数 F(h)为 m Fm (h)   k h k，0 k 